Die externen Strahlen

 

Man kann an die Juliamengen und an die Mandelbrotmenge  externe Strahlen zeichnen. Hierzu gibt man den Winkel des Strahls über der reellen Achse (die waagerechte Achse) als Bruchteil theta des Vollwinkels an (die Eingabe 1/6 entspricht dann z.B. 360°*1/6=60°). Setzt man nun das Steuerkreuz auf den Strahl und iteriert, dann verdoppelt sich der Winkel. Man muss allerdings den externen Strahl immer wieder entsprechend zeichnen.

Bei Brüchen mit einem Nenner, der als (2^n)-1 geschrieben werden kann, sind die Landepunkte der Strahlen periodisch, d.h., nach n Iterationen sind sie wieder am Ausgangspunkt. Bei Brüchen mit einem geraden Nenner sind die Landepunkte präperiodisch, d.h., sie nähern sich einem Wert, für den das Nebenstehende gilt, und sind dann periodisch.
Beispiel: theta=1/7 in der Juliamenge            fc(z)=z^2 (ausgehend von c=0):

1/7

--> 2/7

--> 4/7

--> 8/7=1/7 --> 2/7 --> 4/7...

 Beispiel: theta=1/28 in der Juliamenge fc(z)=z^2

1/28

--> 2/28=1/14

--> 2/14=1/7

--> 2/7 --> 4/7 ...(Bilder siehe linke Spalte)

 Bei f0(z)=z^2 ist dies eine Eigenschaft der Multiplikation komplexer Zahlen. Aber auch bei der allgemeinen Juliamenge zu fc(z)=z^2 + c lassen sich externe Strahlen konstruieren, die aufeinander abgebildet werden, und deren Landepunkte periodisch oder präperiodisch sind. Beispiel:

 

 

 

 

 

 

Auch bei der Mandelbrotmenge gibt es externe Stahlen, deren Landepunkte nun die Wurzeln der Knubbel darstellen, oder Misiurewicz-Punkte sind. Beispiel: