Wenn der Parameter c einer Juliamenge Kc innerhalb der Mandelbrot M liegt, dann ist sie zusammenhängend und etwa elliptisch bzw. kreisförmig.
Im Zeichenmodus 2 von mandel.exe sieht man sehr schön, dass von einem Kreis (mit dem Radius 2) ausgehend die einzelnen Linien, die, je näher sie dem Zentrum der Juliamenge kommen, jeweils Urbilder voneinander sind, immer geschlossene Kurven bilden. In den schwarzen Bereichen liegen dagegen keine Kurven, da diese Punkte nicht nach außen iteriert werden.
Beispiele:
c = - 1,3 + 0i
c = -0,122 + 0,745i
c = 0,282 + 0,530i
Wenn c innerhalb von M liegt, dann sind die Kurven 8-förmig, das heißt es gibt einen Schnittpunkt von zwei Kurven.
Beispiele:
c = 0,494 + 0,277i
c = -0,874 + 0,362i
| Die Mandelbrotmenge ist also die Menge aller Parameter c, für die Kc zusammenhängend ist. |
Zusammenfassung:
kreisförmige Kurven ==> c innerhalb von M
achtförmige Kurven ==> c außerhalb von M
Der kritische Punkt:
Der kritische Punkt in einer Juliamenge ist der Punkt 0, seine erste Iteration ist der kritische Wert. Iteriert man den kritischen Punkt einer zusammenhängenden Juliamenge, also einer Juliamenge, deren Parameter c innerhalb von M liegt, dann bleibt der Punkt innerhalb der Juliamenge und nähert sich einem oder mehreren Fixwerten.
Ist die Juliamenge aber nicht zusammenhängend, liegt c also außerhalb von M, dann läuft der kritische Punkt bei Iteration nach Unendlich.
Man kann also auch definieren:
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Die Mandelbrotmenge M ist die Menge aller Parameter c, bei deren entsprechender Juliamenge Kc der kritische Punkt bei Iteration innerhalb von Kc bleibt. |